Vamos lá.
Pede-se para determinar o parâmetro "m" da equação abaixo, sabendo-se que uma raiz é nula e a outra é positiva:
x² + mx + m² - m - 12 = 0
Veja que se uma raiz é nula (é igual a zero), então vamos substituir o "x" por "0", na equação acima:
0² + m*0 + m² - m - 12 = 0
0 + 0 + m² - m - 12 = 0
m² - m - 12 = 0 ------resolvendo essa equação do 2º grau você encontrará as seguintes raízes:
m' = -3
m'' = 4
Dessa forma, vamos substituir "m" por (-3) e por 4 e ver se a equação terá uma raiz nula e outra positiva. Vamos ver?
Substituindo "m" por "-3", ficamos com:
x² - 3x + (-3)² - (-3) - 12 = 0
x² - 3x + 9 + 3 - 12 = 0
x² - 3x +12 - 12 = 0
x² - 3x = 0 <------Veja que as raízes dessa equação são: x' = 0 e x'' = 3
Veja que para m = -3, a equação se verifica, pois temos uma raiz igual a "0" e a outra positiva (igual a 3).
Agora vamos substituir "m" por 4 na equação original:
x² + 4x + 4² - 4 - 12 = 0
x² + 4x + 16 - 16 = 0
x² + 4x = 0 <----- Veja que as raízes dessa equação são: x' = 0 e x'' = -4.
Observe que, para m = 4, a equação NÃO se verifica, pois temos uma raiz igual a "0" e a outra negativa (igual a -4). E no enunciado é informado que uma raiz deverá ser nula e a outra positiva. Como deu uma nula e a outra negativa, então m = 4 não convém.
Logo, o valor de "m" deverá ser:
m = -3 <----Pronto. Essa é a resposta.
